Curiosidades de Matemática: Transformações trigonométricas

Adição de arcos

Cosseno da soma

Considere a figura ao lado. Sejam três pontos $A \;\!,$ $B \;\!$ e $C \;\!$ pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são $A \left ( \cos a , \mathrm{sen}\, a \right ) \;\!,$ $B \left ( \cos \left ( a + b \right ) , \mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) \right ) \;\!$ e $C \left ( \cos b , -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!.$ Os arcos $\widehat{P B}$ e $\widehat{C A }$ têm medidas iguais, logo as cordas $\overline{P B}$ e $\overline{C A}$ também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:

$d_{PB}^2 = 2 - 2\cdot\cos \left ( a + b \right ) \;\!$

$d_{CA}^2 = 2 - 2\cdot\cos a\cdot\cos b + 2\cdot\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b \;\!$

Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:

Seno da soma

Sabemos que $\mathrm{sen}\, x = \cos \left ( \frac{\pi}{2} - x \right ) .$ A partir disto e sendo $x = a + b \;\!,$ obtemos:

$\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right ) = \cos \left [ \frac{\pi}{2} - \left ( a + b \right ) \right ] = \cos \left [ \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) - b \right ]$

Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:

$\cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right )\cdot\mathrm{sen}\, b$

Substituindo $\cos \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \mathrm{sen}\, a$ e $\mathrm{sen}\, \left ( \frac{\pi}{2} - a \right ) = \cos a$ nesta expressão, então:

Tangente da soma

Sabendo que $\tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}$ e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para $\tan \left ( a + b \right ) \;\!:$

$\tan \left ( a + b \right ) = \frac{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )}{\cos \left ( a + b \right )} = \frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}$

$= \frac{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\cos a\cdot\cos b}}{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\cos a\cdot\cos b}}$

Então:

Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se $a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi$ e $a + b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} ,$ porque a relação $\tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x}$ só é válida se e somente se $x \ne \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}.$

Cotangente da soma

Como $\cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x} ,$ podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para $\cot \left ( a + b \right ) \;\!:$

$\cot \left ( a + b \right ) = \frac{\ cos \left ( a + b \right )}{\mathrm{sen}\, \left ( a + b \right )} = \frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}$

$= \frac{\frac{\cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}{\frac{\mathrm{sen}\, a\cdot\cos b + \mathrm{sen}\, b\cdot\cos a}{\mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, b}}$

Simplificando, temos:

Como $\cot x = \frac{\cos x}{\mathrm{sen}\, x}$ é válida se e somente se $x \ne 0, \pi, 2\pi \;\!,$ a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se $a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\!$ e $a + b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.$

Exemplos

Calcule:

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 75^\circ \;\!:$ $\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 105^\circ \;\!:$ $\left ( 3 \right ) \;\!$ $\tan 105^\circ \;\!:$ $\left ( 4 \right ) \;\!$ $\cot 75^\circ \;\!$

- Resolução

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 75^\circ = \cos \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \cos 30^\circ \cdot \cos 45^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 45^\circ$

$= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} :$ $\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 105^\circ = \mathrm{sen}\, \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 60^\circ + \mathrm{sen}\, 60^\circ \cdot \cos 45^\circ$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} :$ $\left ( 3 \right ) \;\!$ $\tan 105^\circ = \tan \left ( 45^\circ + 60^\circ \right ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 60^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 60^\circ}$ $= \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}:$ $\left ( 4 \right ) \;\!$ $\cot 75^\circ = \cot \left ( 30^\circ + 45^\circ \right ) = \frac{\cot 30^\circ \cdot \cot 45^\circ - 1}{\cot 30^\circ + \cot 45^\circ}$ $= \frac{\sqrt{3} \cdot 1 - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Subtração de arcos

Cosseno da diferença

Para calcular $\cos \left ( a - b \right ) \;\!,$ fazemos uso da igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:

$\cos \left ( a - b \right ) = \cos \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] \;\!$

$= \cos a\cdot\cos \left ( -b \right ) - \mathrm{sen}\, a\cdot\mathrm{sen}\, \left ( -b \right ) \;\!$ $= \cos a\cdot\cos b - \mathrm{sen}\, a\cdot\left ( -\mathrm{sen}\, b \right ) \;\!$

Então:

Seno da diferença

Podemos fazer a mesma substituição da igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:

$\mathrm{sen}\, \left ( a - b \right ) = \mathrm{sen}\, \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \mathrm{sen}\, a\cdot\cos \left ( -b \right ) + \mathrm{sen}\, \left ( -b \right )\cdot\cos a \;\!$

Logo,

Tangente da diferença

Usando novamente a igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:

$\tan \left ( a - b \right ) = \tan \left [ a + \left ( - b \right ) \right ] = \frac{\tan a + \tan \left ( -b \right )}{1 - \tan a\cdot\tan \left ( -b \right )}$

Simplificando, temos:

Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se $a \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi$ e $a - b \ne \frac{\pi}{2} + k \pi, k \in \mathbb{Z} .$

Cotangente da diferença

Mais uma vez, usaremos a igualdade $a - b = a + \left ( -b \right ) \;\!$ e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:

$\cot \left ( a - b \right ) = \cot \left [ a + \left ( -b \right ) \right ] = \frac{\cot a\cdot\cot \left ( -b \right ) - 1}{\cot a + \cot \left ( -b \right )}$

Logo, obtemos a identidade:

Está fórmula só pode ser aplicada se $a \ne k \pi, b \ne k \pi \;\!$ e $a - b \ne k \pi, k \in \mathbb{Z} \;\!.$

Exemplos

Calcule:

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 15^\circ \;\!:$ $\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 15^\circ \;\!:$ $\left ( 3 \right ) \;\!$ $\cot 15^\circ \;\!$

- Resolução

$\left ( 1 \right ) \;\!$ $\cos 15^\circ = \cos 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \cos 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \mathrm{sen}\, 30^\circ$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

$\left ( 2 \right ) \;\!$ $\mathrm{sen}\, 15^\circ = \mathrm{sen}\, 15^\circ \left ( 45^\circ - 30^\circ \right ) = \mathrm{sen}\, 45^\circ \cdot \cos 30^\circ - \mathrm{sen}\, 30^\circ \cdot \cos 45^\circ$ $= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

$\left ( 3 \right ) \;\!$ $\cot 15^\circ = \cot 15^\circ \left ( 60^\circ - 45^\circ \right ) = \frac{\cot 60^\circ \cdot \cot 45^\circ + 1}{\cot 45^\circ - \cot 60^\circ}$ $= \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot 1 + 1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Dados $\tan \alpha = 1 \;\!$ e $\tan \beta = \frac{1}{2} \;\!,$ calcule $\tan \left ( \alpha - \beta \right ) \;\!.$

- Resolução

$\tan \left ( \alpha - \beta \right ) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}$ $= \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + 1 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Multiplicação de arcos

É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de $2a, 3a,... \;\!,$ utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo $2a = a + a, 3a = 2a + a, ... \;\!,$ conforme será mostrado adiante.

Cosseno

Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:

$\cos 2a = \cos \left ( a + a \right ) = \cos a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, a \cdot \mathrm{sen}\, a = \cos^2 a - \mathrm{sen}\,^2 a \;\!$

Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:

ou

$\cos 3a = \cos \left ( 2a + a \right ) = \cos 2a \cdot \cos a - \mathrm{sen}\, 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!$

$= \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a \right ) \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!$ $= \left ( 2 \cos^2 a - 1 \right ) \cdot \cos a - 2\mathrm{sen}\,^2 a \cdot \cos a \;\!$

Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:

Expressões para $\cos 4a, \cos 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Seno

Ultilizando a fórmula do seno da soma:

$\mathrm{sen}\, 2a = \mathrm{sen}\, \left ( a + a \right ) = \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \;\!$

Então, temos:

$\mathrm{sen}\, 3a = \mathrm{sen}\, \left ( 2a + a \right ) = \mathrm{sen}\, 2a \cdot \cos a + \cos 2a \cdot \mathrm{sen}\, a \;\!$

$= \left ( 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \cos a \right ) \cdot \cos a + \mathrm{sen}\, a \left ( 1 - 2 \cdot \ sen^2 a \right ) \;\!$

Utilizando a Identidade relacional básica:

$= 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - \mathrm{sen}\,^2 a \right ) + \mathrm{sen}\, a \cdot \left ( 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 a \right ) \;\!$

Logo:

Expressões para $\mathrm{sen}\, 4a, \mathrm{sen}\, 5a,...\;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Tangente

A partir da fórmula da tangente da soma:

$\tan 2a = \tan \left ( a + a \right ) = \frac{\tan a + \tan a}{1 - \tan a \cdot \tan a} \;\!$

Logo:

$\tan 3a = \tan \left ( 2a + a \right ) = \frac{\tan 2a + \tan a}{1 - \tan 2a \cdot \tan a} \;\!$

Ao subtituimos a fórmula anterior para $\tan 2a \;\!$ e simplificarmos, obtemos como fórmula final:

Expressões para $\tan 4a, \tan 5a,... \;\!$ são obtidas por processos semelhantes.

Exemplo

Se $\cot x = \frac{5}{3} \;\!$ e $0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,$ calcule $\cos 2x \;\!.$

- Resolução

Precisamos encontrar $\mathrm{sen}\, x \;\!$ para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade $\csc^2 x = 1 + \cot^2 x \;\!,$ que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que $\csc x = \frac{1}{\mathrm{sen}\, x} \;\!.$ Como $0 < x < \frac{\pi}{2} \;\!,$ o valor da cossecante é positivo.

$\csc x = \sqrt{1 + \cot^2 x} = \sqrt{1 + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{34}{9}} = \frac{\sqrt{34}}{3}$

De onde vem $\mathrm{sen}\, x = \frac{3}{\sqrt{34}} .$

Podemos finalmente calcular:

$\cos 2x = 1 - 2 \cdot \ sin^2 x = 1 - 2 \cdot \frac{9}{34} = 1 - \frac{18}{34} = \frac{8}{17} .$

Bissecção de arcos

Cosseno

Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para $\cos 2a \;\!$ a fim de que, dado o cosseno de uma arco $x \;\!$ qualquer, possamos obter $\cos \frac{x}{2}, \mathrm{sen}\, \frac{x}{2} \;\!$ ou $\tan \frac{x}{2} \;\! .$ Para isto, consideraremos $2a = x \;\! .$

A partir de $\cos 2a = 2\cos^2 a - 1 \;\!:$

$\cos x = 2 \cdot \cos^2 \frac{x}{2} - 1$

A partir de $\cos 2a = 1 - 2\mathrm{sen}\,^2 a\;\!,$ temos:

$\cos x = 1 - 2 \cdot \mathrm{sen}\,^2 \frac{x}{2}\;\!$

Finalmente, sabendo que $\tan x = \frac{\mathrm{sen}\, x}{\cos x} ,$ temos:

$\tan \frac{x}{2} = \frac{\mathrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}$

Seno

Caso nos seja dado o $\mathrm{sen}\, x \;\!,$ sabendo que $\cos x = \pm \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} ,$ calculamos $\cos x \;\!$ e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.

Tangente

Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular $\mathrm{sen}\, x \;\!,$ $\cos x \;\!$ e $\tan x \;\!,$ conhecida a $\tan \frac{x}{2}.$ Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação

$\mathrm{sen}\, 2a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cos a = 2 \cdot \mathrm{sen}\, a \cdot \frac{\cos^2 a}{\cos a} = 2 \cdot \frac{\mathrm{sen}\, a}{\cos a} \cdot \frac{1}{\sec^2 a} = \frac{2 \cdot \tan a}{1 + \tan^2 a} \;\!$

$\tan 2a = \frac{2 \cdot \tan a}{1 - \tan^2 a}$

e consideraremos $2a = x \;\! ,$ de modo que:

Exemplos

Se $\mathrm{sen}\, x = \frac{4}{5} ,$ com $0 < x <\frac{\pi}{2} ,$ calcule as funções circulares de $\frac{x}{2} .$

- Resolução

$\cos x = \sqrt{1 - \mathrm{sen}\,^2 x} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$

Logo, temos:

$\mathrm{sen}\, \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} :$ $\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} :$ $\tan \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{1 + \cos x}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{1 + \frac{3}{5}}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$

Se $\tan \frac{x}{2} = \frac{1}{4} ,$ determine $\mathrm{sen}\, x \;\!.$

- Resolução

Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que:

$\mathrm{sen}\, x = \frac{2 \cdot \tan \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 + \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{17}{16}} = \frac{8}{17}$

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sábado, 10 de julho de 2010

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