Adição de arcos
Cosseno da soma
Considere a figura ao lado. Sejam três pontos e pertencentes à circunferência , cujas coordenadas são e Os arcos e têm medidas iguais, logo as cordas e também têm a mesma medida. Após aplicarmos a fórmula da distância entre dois pontos da Geometria analítica, temos:
Ao igualarmos as duas expressões, temos a fórmula:
Seno da soma
Sabemos que A partir disto e sendo obtemos:
Utilizando a fórmula do cosseno da diferença de dois arcos nessa última expressão:
Substituindo e nesta expressão, então:
Tangente da soma
Sabendo que e utilizando as fórmulas anteriores para soma de senos e cossenos, podemos facilmente conseguir uma expressão para
Então:
Vale lembrar que essa fórmula só pode ser usada se e porque a relação só é válida se e somente se
Cotangente da soma
Como podemos obter, de maneira semelhante à formula da tangente da soma, uma expressão para
Simplificando, temos:
Como é válida se e somente se a identidade que demonstramos acima só pode ser usada se e
Exemplos
-
-
Subtração de arcos
Cosseno da diferença
Para calcular fazemos uso da igualdade na fórmula do cosseno da soma, conforme a seguir:
Então:
Seno da diferença
Podemos fazer a mesma substituição da igualdade para encontrar as outras relações de diferença de arcos. Para o seno, usaremos a fórmula do seno da soma e a igualdade citada acima, conforme a seguir:
Logo,
Tangente da diferença
Usando novamente a igualdade e, desta vez, a fórmula da tangente da soma:
Simplificando, temos:
Pelos motivos já citados anteriormente, esta fórmula só é válida se e
Cotangente da diferença
Mais uma vez, usaremos a igualdade e, desta vez, a fórmula da cotangente da soma:
Logo, obtemos a identidade:
Está fórmula só pode ser aplicada se e
Exemplos
-
Multiplicação de arcos
É possível deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas de utilizando as fórmulas obtidas para a soma de arcos e fazendo conforme será mostrado adiante.
Cosseno
Usando a fórmula do cosseno da soma, temos:
Logo, utilizando a Identidade relacional básica, podemos obter duas fórmulas finais:
ou
Utilizando a Identidade relacional básica e trabalhando algebricamente, temos:
Expressões para são obtidas por processos semelhantes.
Seno
Ultilizando a fórmula do seno da soma:
Então, temos:
Utilizando a Identidade relacional básica:
Logo:
Expressões para são obtidas por processos semelhantes.
Tangente
A partir da fórmula da tangente da soma:
Logo:
Ao subtituimos a fórmula anterior para e simplificarmos, obtemos como fórmula final:
Expressões para são obtidas por processos semelhantes.
Exemplo
Precisamos encontrar para aplicarmos a fórmula. Para tanto, utilizaremos a identidade que relaciona as funções cotangente e cossecante. A partir da cossecante obtida, podemos encontrar o valor do seno, uma vez que Como o valor da cossecante é positivo.
De onde vem
Podemos finalmente calcular:
Bissecção de arcos
Cosseno
Vamos utilizar as duas fórmulas que encontramos para a fim de que, dado o cosseno de uma arco qualquer, possamos obter ou Para isto, consideraremos
A partir de
A partir de temos:
Finalmente, sabendo que temos:
Seno
Caso nos seja dado o sabendo que calculamos e usamos as fórmulas dadas logo acima para o cosseno.
Tangente
Precisamos agora encontrar fórmulas que permitam calcular e conhecida a Para tanto, tomaremos as fórmulas de multiplicação
e consideraremos de modo que:
Exemplos
- Se com calcule as funções circulares de
Logo, temos:
-
- Se determine
Podemos aplicar diretamente a fórmula, de modo que: